Производная cot(x/3)^(3)

Вы ввели

   3/x\
cot |-|
    \3/

$$\cot^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{3 \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 \left(\frac{1}{3} \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{1}{3} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\sin^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\sin^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

Первая производная

   2/x\ /        2/x\\
cot |-|*|-1 - cot |-||
    \3/ \         \3//

$$\left(- \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Вторая производная

  /       2/x\\ /         2/x\\    /x\
2*|1 + cot |-||*|1 + 2*cot |-||*cot|-|
  \        \3// \          \3//    \3/
--------------------------------------
                  3                   

$$\frac{2}{3} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \left(2 \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Третья производная

                 /             2                                      \
   /       2/x\\ |/       2/x\\         4/x\        2/x\ /       2/x\\|
-2*|1 + cot |-||*||1 + cot |-||  + 2*cot |-| + 7*cot |-|*|1 + cot |-|||
   \        \3// \\        \3//          \3/         \3/ \        \3///
-----------------------------------------------------------------------
                                   9                                   

$$- \frac{2}{9} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right)^{2} + 7 \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 2 \cot^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right)$$