Производная cot(x)/x

Вы ввели

cot(x)
------
  x   

$$\frac{1}{x} \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \frac{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - \cot{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x + \sin{\left (2 x \right )}}{x^{2} \left(\cos{\left (2 x \right )} - 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{2 x + \sin{\left (2 x \right )}}{x^{2} \left(\cos{\left (2 x \right )} - 1\right)}$

Первая производная

        2            
-1 - cot (x)   cot(x)
------------ - ------
     x            2  
                 x   

$$\frac{1}{x} \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /       2                                   \
  |1 + cot (x)   cot(x)   /       2   \       |
2*|----------- + ------ + \1 + cot (x)/*cot(x)|
  |     x           2                         |
  \                x                          /
-----------------------------------------------
                       x                       

$$\frac{1}{x} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(2 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{2}{x^{2}} \cot{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

   /             2                                          /       2   \     /       2   \       \
   |/       2   \         2    /       2   \   3*cot(x)   3*\1 + cot (x)/   3*\1 + cot (x)/*cot(x)|
-2*|\1 + cot (x)/  + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + -------- + --------------- + ----------------------|
   |                                               3              2                   x           |
   \                                              x              x                                /
---------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 x                                                 

$$- \frac{1}{x} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 6\right) + \frac{6}{x^{3}} \cot{\left (x \right )}\right)$$