Производная cot(x)/x^4

Вы ввели

cot(x)
------
   4  
  x   

$$\frac{1}{x^{4}} \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x^{4}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{8}} \left(- \frac{x^{4} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - 4 x^{3} \cot{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x + 4 \sin{\left (2 x \right )}}{x^{5} \left(\cos{\left (2 x \right )} - 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{2 x + 4 \sin{\left (2 x \right )}}{x^{5} \left(\cos{\left (2 x \right )} - 1\right)}$

Первая производная

        2              
-1 - cot (x)   4*cot(x)
------------ - --------
      4            5   
     x            x    

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) - \frac{4}{x^{5}} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /                         /       2   \            \
  |/       2   \          4*\1 + cot (x)/   10*cot(x)|
2*|\1 + cot (x)/*cot(x) + --------------- + ---------|
  |                              x               2   |
  \                                             x    /
------------------------------------------------------
                           4                          
                          x                           

$$\frac{1}{x^{4}} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(8 \cot^{2}{\left (x \right )} + 8\right) + \frac{20}{x^{2}} \cot{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

   /             2                                /       2   \                  /       2   \       \
   |/       2   \         2    /       2   \   30*\1 + cot (x)/   60*cot(x)   12*\1 + cot (x)/*cot(x)|
-2*|\1 + cot (x)/  + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + ---------------- + --------- + -----------------------|
   |                                                   2               3                 x           |
   \                                                  x               x                              /
------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   4                                                  
                                                  x                                                   

$$- \frac{1}{x^{4}} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \frac{24}{x} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(60 \cot^{2}{\left (x \right )} + 60\right) + \frac{120}{x^{3}} \cot{\left (x \right )}\right)$$