Производная (cot(x)-csc(x))^-1

Вы ввели

       1       
---------------
cot(x) - csc(x)

$$\frac{1}{\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

               $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{\left(\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}$

Первая производная

       2                   
1 + cot (x) - cot(x)*csc(x)
---------------------------
                      2    
     (cot(x) - csc(x))     

$$\frac{\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + 1}{\left(\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Вторая производная

                                                                                                2
                                                                   /       2                   \ 
   2             /       2   \            /       2   \          2*\1 + cot (x) - cot(x)*csc(x)/ 
cot (x)*csc(x) + \1 + cot (x)/*csc(x) - 2*\1 + cot (x)/*cot(x) + --------------------------------
                                                                         -csc(x) + cot(x)        
-------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                         2                                       
                                       (-csc(x) + cot(x))                                        

$$\frac{1}{\left(\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \csc{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                                                                                             3                                                                                                                                   
               2                                                /       2                   \                                      /       2                   \ /   2             /       2   \            /       2   \       \
  /       2   \       3                  2    /       2   \   6*\1 + cot (x) - cot(x)*csc(x)/      /       2   \                 6*\1 + cot (x) - cot(x)*csc(x)/*\cot (x)*csc(x) + \1 + cot (x)/*csc(x) - 2*\1 + cot (x)/*cot(x)/
2*\1 + cot (x)/  - cot (x)*csc(x) + 4*cot (x)*\1 + cot (x)/ + -------------------------------- - 5*\1 + cot (x)/*cot(x)*csc(x) + ------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                      2                                                                                  -csc(x) + cot(x)                                        
                                                                    (-csc(x) + cot(x))                                                                                                                                           
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                         2                                                                                                       
                                                                                                       (-csc(x) + cot(x))                                                                                                        

$$\frac{1}{\left(\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} - 5 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} - \cot^{3}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + \frac{6}{\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}} \left(- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \csc{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$