Производная cot(x+1)^(8)

Вы ввели

   8       
cot (x + 1)

$$\cot^{8}{\left(x + 1 \right)}$$

d /   8       \
--\cot (x + 1)/
dx             

$$\frac{d}{d x} \cot^{8}{\left(x + 1 \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left(x + 1 \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{8}$ получим $8 u^{7}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(x + 1 \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x + 1 \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x + 1 \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(x + 1 \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x + 1 \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(x + 1 \right)} = \frac{\sin{\left(x + 1 \right)}}{\cos{\left(x + 1 \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + 1 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + 1 \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = x + 1$.

            2. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

               1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

                  В результате: $1$

               В результате последовательности правил:

               $\cos{\left(x + 1 \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = x + 1$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

               1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

                  В результате: $1$

               В результате последовательности правил:

               $- \sin{\left(x + 1 \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x + 1 \right)} + \cos^{2}{\left(x + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x + 1 \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left(x + 1 \right)} + \cos^{2}{\left(x + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x + 1 \right)} \tan^{2}{\left(x + 1 \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x + 1 \right)} = \frac{\cos{\left(x + 1 \right)}}{\sin{\left(x + 1 \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + 1 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x + 1 \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = x + 1$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

            1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               В результате: $1$

            В результате последовательности правил:

            $- \sin{\left(x + 1 \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = x + 1$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

            1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               В результате: $1$

            В результате последовательности правил:

            $\cos{\left(x + 1 \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x + 1 \right)} - \cos^{2}{\left(x + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x + 1 \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{8 \left(\sin^{2}{\left(x + 1 \right)} + \cos^{2}{\left(x + 1 \right)}\right) \cot^{7}{\left(x + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x + 1 \right)} \tan^{2}{\left(x + 1 \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{8 \cos^{7}{\left(x + 1 \right)}}{\sin^{9}{\left(x + 1 \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{8 \cos^{7}{\left(x + 1 \right)}}{\sin^{9}{\left(x + 1 \right)}}$

Первая производная

   7        /          2       \
cot (x + 1)*\-8 - 8*cot (x + 1)/

$$\left(- 8 \cot^{2}{\left(x + 1 \right)} - 8\right) \cot^{7}{\left(x + 1 \right)}$$

Вторая производная

     6        /       2       \ /         2       \
8*cot (1 + x)*\1 + cot (1 + x)/*\7 + 9*cot (1 + x)/

$$8 \left(\cot^{2}{\left(x + 1 \right)} + 1\right) \left(9 \cot^{2}{\left(x + 1 \right)} + 7\right) \cot^{6}{\left(x + 1 \right)}$$

Третья производная

                                  /                                    2                                   \
       5        /       2       \ |     4             /       2       \          2        /       2       \|
-16*cot (1 + x)*\1 + cot (1 + x)/*\2*cot (1 + x) + 21*\1 + cot (1 + x)/  + 22*cot (1 + x)*\1 + cot (1 + x)//

$$- 16 \left(\cot^{2}{\left(x + 1 \right)} + 1\right) \left(21 \left(\cot^{2}{\left(x + 1 \right)} + 1\right)^{2} + 22 \left(\cot^{2}{\left(x + 1 \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x + 1 \right)} + 2 \cot^{4}{\left(x + 1 \right)}\right) \cot^{5}{\left(x + 1 \right)}$$

График