Производная (cot(x))^4

Вы ввели

   4   
cot (x)

$$\cot^{4}{\left(x \right)}$$

d /   4   \
--\cot (x)/
dx         

$$\frac{d}{d x} \cot^{4}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}$

Первая производная

   3    /          2   \
cot (x)*\-4 - 4*cot (x)/

$$\left(- 4 \cot^{2}{\left(x \right)} - 4\right) \cot^{3}{\left(x \right)}$$

Вторая производная

     2    /       2   \ /         2   \
4*cot (x)*\1 + cot (x)/*\3 + 5*cot (x)/

$$4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(5 \cot^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \cot^{2}{\left(x \right)}$$

Третья производная

                 /                           2                           \       
   /       2   \ |     4        /       2   \          2    /       2   \|       
-8*\1 + cot (x)/*\2*cot (x) + 3*\1 + cot (x)/  + 10*cot (x)*\1 + cot (x)//*cot(x)

$$- 8 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 10 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot^{4}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}$$

График