Производная (cot(x))^(2/3)

Вы ввели

   2/3   
cot   (x)

$$\cot^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{\frac{2}{3}}$ получим $\frac{2}{3 \sqrt[3]{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \sqrt[3]{\cot{\left (x \right )}}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

           2   
  2   2*cot (x)
- - - ---------
  3       3    
---------------
   3 ________  
   \/ cot(x)   

$$\frac{- \frac{2}{3} \cot^{2}{\left (x \right )} - \frac{2}{3}}{\sqrt[3]{\cot{\left (x \right )}}}$$

Вторая производная

                /                     2   \
  /       2   \ |     2/3      1 + cot (x)|
2*\1 + cot (x)/*|6*cot   (x) - -----------|
                |                  4/3    |
                \               cot   (x) /
-------------------------------------------
                     9                     

$$\frac{2}{9} \left(- \frac{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}{\cot^{\frac{4}{3}}{\left (x \right )}} + 6 \cot^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                 /                           2\
                 |              /       2   \ |
   /       2   \ |     5/3      \1 + cot (x)/ |
-8*\1 + cot (x)/*|9*cot   (x) + --------------|
                 |                   7/3      |
                 \                cot   (x)   /
-----------------------------------------------
                       27                      

$$- \frac{8}{27} \left(\frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{\frac{7}{3}}{\left (x \right )}} + 9 \cot^{\frac{5}{3}}{\left (x \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$