Производная cot(x^2)^(4)

Вы ввели

   4/ 2\
cot \x /

$$\cot^{4}{\left (x^{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x^{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x^{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2 x}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 \cot^{3}{\left (x^{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )} \tan^{2}{\left (x^{2} \right )}} \left(2 x \sin^{2}{\left (x^{2} \right )} + 2 x \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{8 x \cos^{3}{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{5}{\left (x^{2} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{8 x \cos^{3}{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{5}{\left (x^{2} \right )}}$

Первая производная

       3/ 2\ /        2/ 2\\
8*x*cot \x /*\-1 - cot \x //

$$8 x \left(- \cot^{2}{\left (x^{2} \right )} - 1\right) \cot^{3}{\left (x^{2} \right )}$$

Вторая производная

     2/ 2\ /       2/ 2\\ /     / 2\      2    2/ 2\      2 /       2/ 2\\\
8*cot \x /*\1 + cot \x //*\- cot\x / + 4*x *cot \x / + 6*x *\1 + cot \x ///

$$8 \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(6 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) + 4 x^{2} \cot^{2}{\left (x^{2} \right )} - \cot{\left (x^{2} \right )}\right) \cot^{2}{\left (x^{2} \right )}$$

Третья производная

                    /                                 2                                                                           \        
     /       2/ 2\\ |     3/ 2\       2 /       2/ 2\\       2    4/ 2\     /       2/ 2\\    / 2\       2    2/ 2\ /       2/ 2\\|    / 2\
16*x*\1 + cot \x //*\6*cot \x / - 12*x *\1 + cot \x //  - 8*x *cot \x / + 9*\1 + cot \x //*cot\x / - 40*x *cot \x /*\1 + cot \x ///*cot\x /

$$16 x \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(- 12 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right)^{2} - 40 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x^{2} \right )} - 8 x^{2} \cot^{4}{\left (x^{2} \right )} + 9 \left(\cot^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \cot{\left (x^{2} \right )} + 6 \cot^{3}{\left (x^{2} \right )}\right) \cot{\left (x^{2} \right )}$$