Производная cot(x)^(1/4)

Вы ввели

4 ________
\/ cot(x) 

$$\sqrt[4]{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[4]{u}$ получим $\frac{1}{4 u^{\frac{3}{4}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{4 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \cot^{\frac{3}{4}}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{4 \left(\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)^{\frac{3}{4}} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4 \left(\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)^{\frac{3}{4}} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

         2   
  1   cot (x)
- - - -------
  4      4   
-------------
     3/4     
  cot   (x)  

$$\frac{- \frac{1}{4} \cot^{2}{\left (x \right )} - \frac{1}{4}}{\cot^{\frac{3}{4}}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

              /                 /       2   \\
/       2   \ |  4 ________   3*\1 + cot (x)/|
\1 + cot (x)/*|8*\/ cot(x)  - ---------------|
              |                     7/4      |
              \                  cot   (x)   /
----------------------------------------------
                      16                      

$$\frac{1}{16} \left(- \frac{3 \cot^{2}{\left (x \right )} + 3}{\cot^{\frac{7}{4}}{\left (x \right )}} + 8 \sqrt[4]{\cot{\left (x \right )}}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

               /                                 2                   \
/        2   \ |                    /       2   \       /       2   \|
|1    cot (x)| |        5/4      21*\1 + cot (x)/    40*\1 + cot (x)/|
|-- + -------|*|- 64*cot   (x) - ----------------- + ----------------|
\64      64  / |                        11/4               3/4       |
               \                     cot    (x)         cot   (x)    /

$$\left(\frac{1}{64} \cot^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{64}\right) \left(- \frac{21 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{\frac{11}{4}}{\left (x \right )}} + \frac{40 \cot^{2}{\left (x \right )} + 40}{\cot^{\frac{3}{4}}{\left (x \right )}} - 64 \cot^{\frac{5}{4}}{\left (x \right )}\right)$$