Производная cbrt(1+x^3)

Вы ввели

   ________
3 /      3 
\/  1 + x  

$$\sqrt[3]{x^{3} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{3} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{3} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $x^{3} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

Первая производная

      2    
     x     
-----------
        2/3
/     3\   
\1 + x /   

$$\frac{x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Вторая производная

    /       3  \
    |      x   |
2*x*|1 - ------|
    |         3|
    \    1 + x /
----------------
          2/3   
  /     3\      
  \1 + x /      

$$\frac{2 x}{\left(x^{3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}} \left(- \frac{x^{3}}{x^{3} + 1} + 1\right)$$

Третья производная

  /        3          6  \
  |     6*x        5*x   |
2*|1 - ------ + ---------|
  |         3           2|
  |    1 + x    /     3\ |
  \             \1 + x / /
--------------------------
               2/3        
       /     3\           
       \1 + x /           

$$\frac{1}{\left(x^{3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}} \left(\frac{10 x^{6}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{12 x^{3}}{x^{3} + 1} + 2\right)$$