Производная cbrt(sin(x)^(2))

Вы ввели

   _________
3 /    2    
\/  sin (x) 

$$\sqrt[3]{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{3 \left(\sin^{2}{\left (x \right )}\right)^{\frac{2}{3}}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left (2 x \right )}}{3 \left(- \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

---

Ответ:

$\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left (2 x \right )}}{3 \left(- \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

Первая производная

     _________       
  3 /    2           
2*\/  sin (x) *cos(x)
---------------------
       3*sin(x)      

$$\frac{2 \sqrt[3]{\sin^{2}{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}}{3 \sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

      _________ /       2   \
   3 /    2     |    cos (x)|
-2*\/  sin (x) *|3 + -------|
                |       2   |
                \    sin (x)/
-----------------------------
              9              

$$- \frac{2}{9} \left(3 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \sqrt[3]{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

     _________        
  3 /    2        3   
8*\/  sin (x) *cos (x)
----------------------
            3         
      27*sin (x)      

$$\frac{8 \sqrt[3]{\sin^{2}{\left (x \right )}} \cos^{3}{\left (x \right )}}{27 \sin^{3}{\left (x \right )}}$$