Производная cbrt(tan(3/x))

Вы ввели

    ________
   /    /3\ 
3 /  tan|-| 
\/      \x/ 

$$\sqrt[3]{\tan{\left (\frac{3}{x} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{3}{x} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{3}{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{3}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{3}{x}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{3}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{3}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{- \frac{3}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} - \frac{3}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )}}{3 \cos^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} \tan^{\frac{2}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} \tan^{\frac{2}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} \tan^{\frac{2}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}}$

Первая производная

 /       2/3\\ 
-|1 + tan |-|| 
 \        \x// 
---------------
   2    2/3/3\ 
  x *tan   |-| 
           \x/ 

$$- \frac{\tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 1}{x^{2} \tan^{\frac{2}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}}$$

Вторая производная

                /                  ________              \
                |                 /    /3\           2/3\|
                |            3*3 /  tan|-|    1 + tan |-||
  /       2/3\\ |    1         \/      \x/            \x/|
2*|1 + tan |-||*|--------- + -------------- - -----------|
  \        \x// |   2/3/3\         x               5/3/3\|
                |tan   |-|                    x*tan   |-||
                \      \x/                            \x//
----------------------------------------------------------
                             3                            
                            x                             

$$\frac{2}{x^{3}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{\tan^{\frac{2}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}} - \frac{\tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 1}{x \tan^{\frac{5}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}} + \frac{3}{x} \sqrt[3]{\tan{\left (\frac{3}{x} \right )}}\right)$$

Третья производная

                /                     ________                                 2                                    \
                |                    /    /3\          4/3/3\     /       2/3\\      /       2/3\\     /       2/3\\|
                |              18*3 /  tan|-|    18*tan   |-|   5*|1 + tan |-||    6*|1 + tan |-||   9*|1 + tan |-|||
  /       2/3\\ |      3          \/      \x/             \x/     \        \x//      \        \x//     \        \x//|
2*|1 + tan |-||*|- --------- - --------------- - ------------ - ---------------- + --------------- + ---------------|
  \        \x// |     2/3/3\          x                2           2    8/3/3\            5/3/3\        2    2/3/3\ |
                |  tan   |-|                          x           x *tan   |-|       x*tan   |-|       x *tan   |-| |
                \        \x/                                               \x/               \x/                \x/ /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                           4                                                         
                                                          x                                                          

$$\frac{2}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 1\right) \left(- \frac{3}{\tan^{\frac{2}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}} + \frac{6 \tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 6}{x \tan^{\frac{5}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}} - \frac{18}{x} \sqrt[3]{\tan{\left (\frac{3}{x} \right )}} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 1\right)^{2}}{x^{2} \tan^{\frac{8}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}} + \frac{9 \tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 9}{x^{2} \tan^{\frac{2}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}} - \frac{18}{x^{2}} \tan^{\frac{4}{3}}{\left (\frac{3}{x} \right )}\right)$$