Производная cbrt(8-x^3)

Вы ввели

   ________
3 /      3 
\/  8 - x  

$$\sqrt[3]{- x^{3} + 8}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - x^{3} + 8$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x^{3} + 8\right)$:

   1. дифференцируем $- x^{3} + 8$ почленно:

      1. Производная постоянной $8$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

         Таким образом, в результате: $- 3 x^{2}$

      В результате: $- 3 x^{2}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{x^{2}}{\left(- x^{3} + 8\right)^{\frac{2}{3}}}$

---

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{\left(- x^{3} + 8\right)^{\frac{2}{3}}}$

Первая производная

      2    
    -x     
-----------
        2/3
/     3\   
\8 - x /   

$$- \frac{x^{2}}{\left(- x^{3} + 8\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Вторая производная

     /       3  \
     |      x   |
-2*x*|1 + ------|
     |         3|
     \    8 - x /
-----------------
           2/3   
   /     3\      
   \8 - x /      

$$- \frac{2 x \left(\frac{x^{3}}{- x^{3} + 8} + 1\right)}{\left(- x^{3} + 8\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Третья производная

   /          6         3 \
   |       5*x       6*x  |
-2*|1 + --------- + ------|
   |            2        3|
   |    /     3\    8 - x |
   \    \8 - x /          /
---------------------------
                2/3        
        /     3\           
        \8 - x /           

$$- \frac{1}{\left(- x^{3} + 8\right)^{\frac{2}{3}}} \left(\frac{10 x^{6}}{\left(- x^{3} + 8\right)^{2}} + \frac{12 x^{3}}{- x^{3} + 8} + 2\right)$$