Производная cbrt(x)/(x+7)

Вы ввели

3 ___
\/ x 
-----
x + 7

$$\frac{\sqrt[3]{x}}{x + 7}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x}$ и $g{\left (x \right )} = x + 7$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{x}$ получим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 7$ почленно:

      1. Производная постоянной $7$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 7\right)^{2}} \left(- \sqrt[3]{x} + \frac{x + 7}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 2 x + 7}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x + 7\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- 2 x + 7}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x + 7\right)^{2}}$

Первая производная

   3 ___                   
   \/ x            1       
- -------- + --------------
         2      2/3        
  (x + 7)    3*x   *(x + 7)

$$- \frac{\sqrt[3]{x}}{\left(x + 7\right)^{2}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x + 7\right)}$$

Вторая производная

  /            3 ___                   \
  |    1       \/ x            1       |
2*|- ------ + -------- - --------------|
  |     5/3          2      2/3        |
  \  9*x      (7 + x)    3*x   *(7 + x)/
----------------------------------------
                 7 + x                  

$$\frac{1}{x + 7} \left(\frac{2 \sqrt[3]{x}}{\left(x + 7\right)^{2}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x + 7\right)} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)$$

Третья производная

  /                            3 ___                  \
  |   5            1         3*\/ x           1       |
2*|------- + ------------- - -------- + --------------|
  |    8/3    2/3        2          3      5/3        |
  \27*x      x   *(7 + x)    (7 + x)    3*x   *(7 + x)/
-------------------------------------------------------
                         7 + x                         

$$\frac{1}{x + 7} \left(- \frac{6 \sqrt[3]{x}}{\left(x + 7\right)^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{2}{3}} \left(x + 7\right)^{2}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}} \left(x + 7\right)} + \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}\right)$$