Производная sqrt(cot(x))

Вы ввели

  ________
\/ cot(x) 

$$\sqrt{\cot{\left(x \right)}}$$

d /  ________\
--\\/ cot(x) /
dx            

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\cot{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} \sqrt{\cot{\left(x \right)}}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

         2   
  1   cot (x)
- - - -------
  2      2   
-------------
    ________ 
  \/ cot(x)  

$$\frac{- \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{\cot{\left(x \right)}}}$$

Вторая производная

/       2   \ /                      2   \
|1   cot (x)| |    ________   1 + cot (x)|
|- + -------|*|4*\/ cot(x)  - -----------|
\4      4   / |                   3/2    |
              \                cot   (x) /

$$\left(- \frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}} + 4 \sqrt{\cot{\left(x \right)}}\right) \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$

Третья производная

              /                                2                  \
/       2   \ |                   /       2   \      /       2   \|
|1   cot (x)| |        3/2      3*\1 + cot (x)/    4*\1 + cot (x)/|
|- + -------|*|- 16*cot   (x) - ---------------- + ---------------|
\8      8   / |                       5/2               ________  |
              \                    cot   (x)          \/ cot(x)   /

$$\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{1}{8}\right) \left(- \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sqrt{\cot{\left(x \right)}}} - 16 \cot^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}\right)$$

График