Производная sqrt(log(cos(x)))

Вы ввели

  _____________
\/ log(cos(x)) 

$$\sqrt{\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} \cos{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\tan{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}}$

---

Ответ:

$- \frac{\tan{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}}$

Первая производная

        -sin(x)         
------------------------
           _____________
2*cos(x)*\/ log(cos(x)) 

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /         2               2         \ 
 |    2*sin (x)         sin (x)      | 
-|2 + --------- + -------------------| 
 |        2          2               | 
 \     cos (x)    cos (x)*log(cos(x))/ 
---------------------------------------
               _____________           
           4*\/ log(cos(x))            

$$- \frac{1}{4 \sqrt{\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 2 + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

 /                       2                 2                       2          \        
 |          3         sin (x)         3*sin (x)               3*sin (x)       |        
-|1 + ------------- + ------- + --------------------- + ----------------------|*sin(x) 
 |    4*log(cos(x))      2           2                       2       2        |        
 \                    cos (x)   4*cos (x)*log(cos(x))   8*cos (x)*log (cos(x))/        
---------------------------------------------------------------------------------------
                                          _____________                                
                                 cos(x)*\/ log(cos(x))                                 

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\sqrt{\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} \cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1 + \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{4 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3}{4 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}} + \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{8 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

График