Производная sqrt(log(tan(x)))

Вы ввели

  _____________
\/ log(tan(x)) 

$$\sqrt{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sqrt{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \sin{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sqrt{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \sin{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

             2          
      1 + tan (x)       
------------------------
    _____________       
2*\/ log(tan(x)) *tan(x)

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{2 \sqrt{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \tan{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

              /           2                  2        \
/       2   \ |    1 + tan (x)        1 + tan (x)     |
\1 + tan (x)/*|1 - ----------- - ---------------------|
              |          2                        2   |
              \     2*tan (x)    4*log(tan(x))*tan (x)/
-------------------------------------------------------
                      _____________                    
                    \/ log(tan(x))                     

$$\frac{1}{\sqrt{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{2 \tan^{2}{\left (x \right )}} - \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{4 \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 1\right)$$

Третья производная

              /                        2                                                              2                       2   \
              |           /       2   \      /       2   \       /       2   \           /       2   \           /       2   \    |
/       2   \ |           \1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/     3*\1 + tan (x)/         3*\1 + tan (x)/         3*\1 + tan (x)/    |
\1 + tan (x)/*|2*tan(x) + -------------- - --------------- - -------------------- + --------------------- + ----------------------|
              |                 3               tan(x)       2*log(tan(x))*tan(x)                    3           2            3   |
              \              tan (x)                                                4*log(tan(x))*tan (x)   8*log (tan(x))*tan (x)/
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            _____________                                                          
                                                          \/ log(tan(x))                                                           

$$\frac{1}{\sqrt{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{4 \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{8 \log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan{\left (x \right )}} - \frac{3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3}{2 \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}} + 2 \tan{\left (x \right )}\right)$$