Производная sqrt(1-tan(x))

Вы ввели

  ____________
\/ 1 - tan(x) 

$$\sqrt{- \tan{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \tan{\left (x \right )} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- \tan{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

      В результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{2 \sqrt{- \tan{\left (x \right )} + 1} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{2 \sqrt{- \tan{\left (x \right )} + 1} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2 \sqrt{- \tan{\left (x \right )} + 1} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

         2    
  1   tan (x) 
- - - ------- 
  2      2    
--------------
  ____________
\/ 1 - tan(x) 

$$\frac{- \frac{1}{2} \tan^{2}{\left (x \right )} - \frac{1}{2}}{\sqrt{- \tan{\left (x \right )} + 1}}$$

Вторая производная

               /        2              \ 
 /       2   \ | 1 + tan (x)           | 
-\1 + tan (x)/*|-------------- + tan(x)| 
               \4*(1 - tan(x))         / 
-----------------------------------------
                ____________             
              \/ 1 - tan(x)              

$$- \frac{1}{\sqrt{- \tan{\left (x \right )} + 1}} \left(\tan{\left (x \right )} + \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{- 4 \tan{\left (x \right )} + 4}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

               /                               2                         \ 
               |                  /       2   \      /       2   \       | 
 /       2   \ |         2      3*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/*tan(x)| 
-\1 + tan (x)/*|1 + 3*tan (x) + ---------------- + ----------------------| 
               |                              2        2*(1 - tan(x))    | 
               \                8*(1 - tan(x))                           / 
---------------------------------------------------------------------------
                                 ____________                              
                               \/ 1 - tan(x)                               

$$- \frac{1}{\sqrt{- \tan{\left (x \right )} + 1}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )}}{- 2 \tan{\left (x \right )} + 2} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{8 \left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$