Производная sqrt(1+sin(x))

Вы ввели

  ____________
\/ 1 + sin(x) 

$$\sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}$$

d /  ____________\
--\\/ 1 + sin(x) /
dx                

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $\cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}$

Первая производная

     cos(x)     
----------------
    ____________
2*\/ 1 + sin(x) 

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}$$

Вторая производная

 /               2     \ 
 |            cos (x)  | 
-|2*sin(x) + ----------| 
 \           1 + sin(x)/ 
-------------------------
         ____________    
     4*\/ 1 + sin(x)     

$$- \frac{2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}}{4 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}$$

Третья производная

/            2                  \       
|       3*cos (x)      6*sin(x) |       
|-4 + ------------- + ----------|*cos(x)
|                 2   1 + sin(x)|       
\     (1 + sin(x))              /       
----------------------------------------
                ____________            
            8*\/ 1 + sin(x)             

$$\frac{\left(-4 + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right) \cos{\left(x \right)}}{8 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 1}}$$

График