Производная sqrt(1+tan(x))

Вы ввели

  ____________
\/ 1 + tan(x) 

$$\sqrt{\tan{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\tan{\left (x \right )} + 1} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \sqrt{\tan{\left (x \right )} + 1} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \sqrt{\tan{\left (x \right )} + 1} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

        2     
 1   tan (x)  
 - + -------  
 2      2     
--------------
  ____________
\/ 1 + tan(x) 

$$\frac{\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\tan{\left (x \right )} + 1}}$$

Вторая производная

              /          2              \
/       2   \ |   1 + tan (x)           |
\1 + tan (x)/*|- -------------- + tan(x)|
              \  4*(1 + tan(x))         /
-----------------------------------------
                ____________             
              \/ 1 + tan(x)              

$$\frac{1}{\sqrt{\tan{\left (x \right )} + 1}} \left(\tan{\left (x \right )} - \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{4 \tan{\left (x \right )} + 4}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

              /                               2                         \
              |                  /       2   \      /       2   \       |
/       2   \ |         2      3*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/*tan(x)|
\1 + tan (x)/*|1 + 3*tan (x) + ---------------- - ----------------------|
              |                              2        2*(1 + tan(x))    |
              \                8*(1 + tan(x))                           /
-------------------------------------------------------------------------
                                ____________                             
                              \/ 1 + tan(x)                              

$$\frac{1}{\sqrt{\tan{\left (x \right )} + 1}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )}}{2 \tan{\left (x \right )} + 2} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{8 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$