Производная sqrt(x)*cos(x)

Вы ввели

  ___       
\/ x *cos(x)

$$\sqrt{x} \cos{\left(x \right)}$$

d /  ___       \
--\\/ x *cos(x)/
dx              

$$\frac{d}{d x} \sqrt{x} \cos{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   В результате: $- \sqrt{x} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- x \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}}{\sqrt{x}}$

---

Ответ:

$\frac{- x \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}}{\sqrt{x}}$

Первая производная

 cos(x)     ___       
------- - \/ x *sin(x)
    ___               
2*\/ x                

$$- \sqrt{x} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$$

Вторая производная

 /  ___          sin(x)   cos(x)\
-|\/ x *cos(x) + ------ + ------|
 |                 ___       3/2|
 \               \/ x     4*x   /

$$- (\sqrt{x} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}})$$

Третья производная

  ___          3*cos(x)   3*sin(x)   3*cos(x)
\/ x *sin(x) - -------- + -------- + --------
                   ___        3/2        5/2 
               2*\/ x      4*x        8*x    

$$\sqrt{x} \sin{\left(x \right)} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8 x^{\frac{5}{2}}}$$

График