Производная sqrt(x^2+2*x+82)

Вы ввели

   _______________
  /  2            
\/  x  + 2*x + 82 

$$\sqrt{x^{2} + 2 x + 82}$$

  /   _______________\
d |  /  2            |
--\\/  x  + 2*x + 82 /
dx                    

$$\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} + 2 x + 82}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{2} + 2 x + 82$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 82\right)$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 2 x + 82$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      3. Производная постоянной $82$ равна нулю.

      В результате: $2 x + 2$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 x + 2}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 82}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 82}}$

---

Ответ:

$\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 82}}$

Первая производная

      1 + x       
------------------
   _______________
  /  2            
\/  x  + 2*x + 82 

$$\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 82}}$$

Вторая производная

              2   
       (1 + x)    
1 - ------------- 
          2       
    82 + x  + 2*x 
------------------
   _______________
  /       2       
\/  82 + x  + 2*x 

$$\frac{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 82} + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 82}}$$

Третья производная

          /               2  \
          |        (1 + x)   |
3*(1 + x)*|-1 + -------------|
          |           2      |
          \     82 + x  + 2*x/
------------------------------
                     3/2      
      /      2      \         
      \82 + x  + 2*x/         

$$\frac{3 \left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 82} - 1\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 82\right)^{\frac{3}{2}}}$$

График