Производная log(csc(x)-cot(x))

Вы ввели

log(csc(x) - cot(x))

$$\log{\left (- \cot{\left (x \right )} + \csc{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \cot{\left (x \right )} + \csc{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \cot{\left (x \right )} + \csc{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $- \cot{\left (x \right )} + \csc{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

            $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{- \cot{\left (x \right )} + \csc{\left (x \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2                   
1 + cot (x) - cot(x)*csc(x)
---------------------------
      csc(x) - cot(x)      

$$\frac{\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + 1}{- \cot{\left (x \right )} + \csc{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /                             2                                                                 \ 
 |/       2                   \                                                                  | 
 |\1 + cot (x) - cot(x)*csc(x)/       2             /       2   \            /       2   \       | 
-|------------------------------ + cot (x)*csc(x) + \1 + cot (x)/*csc(x) - 2*\1 + cot (x)/*cot(x)| 
 \       -csc(x) + cot(x)                                                                        / 
---------------------------------------------------------------------------------------------------
                                          -csc(x) + cot(x)                                         

$$- \frac{1}{\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}} \left(- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \csc{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                                                                                               3                                                                                                                                   
                 2                                                /       2                   \      /       2                   \ /   2             /       2   \            /       2   \       \                                
    /       2   \       3                  2    /       2   \   2*\1 + cot (x) - cot(x)*csc(x)/    3*\1 + cot (x) - cot(x)*csc(x)/*\cot (x)*csc(x) + \1 + cot (x)/*csc(x) - 2*\1 + cot (x)/*cot(x)/     /       2   \              
- 2*\1 + cot (x)/  + cot (x)*csc(x) - 4*cot (x)*\1 + cot (x)/ - -------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------ + 5*\1 + cot (x)/*cot(x)*csc(x)
                                                                                        2                                                  -csc(x) + cot(x)                                                                        
                                                                      (-csc(x) + cot(x))                                                                                                                                           
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                          -csc(x) + cot(x)                                                                                                         

$$\frac{1}{\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}} \left(- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 5 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + \cot^{3}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} - \frac{3}{\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}} \left(- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \csc{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(\cot{\left (x \right )} - \csc{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$