Производная log(csc(x))*(sin(x))

Вы ввели

log(csc(x))*sin(x)

$$\log{\left (\csc{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (\csc{\left (x \right )} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \csc{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

            $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}}$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $\log{\left (\csc{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\left(\log{\left (\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\left(\log{\left (\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )}$

Первая производная

cos(x)*log(csc(x)) - cot(x)*sin(x)

$$\log{\left (\csc{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/       2   \                                              
\1 + cot (x)/*sin(x) - log(csc(x))*sin(x) - 2*cos(x)*cot(x)

$$\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} - \log{\left (\csc{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$

Третья производная

                        /       2   \                              /       2   \              
-cos(x)*log(csc(x)) + 3*\1 + cot (x)/*cos(x) + 3*cot(x)*sin(x) - 2*\1 + cot (x)/*cot(x)*sin(x)

$$- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \log{\left (\csc{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$