Производная log((10-x)/(x+2))

Вы ввели

   /10 - x\
log|------|
   \x + 2 /

$$\log{\left (\frac{- x + 10}{x + 2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{- x + 10}{x + 2}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{- x + 10}{x + 2}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = - x + 10$ и $g{\left (x \right )} = x + 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + 10$ почленно:

         1. Производная постоянной $10$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{12}{\left(x + 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{12 x + 24}{\left(- x + 10\right) \left(x + 2\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{12}{\left(x - 10\right) \left(x + 2\right)}$

---

Ответ:

$\frac{12}{\left(x - 10\right) \left(x + 2\right)}$

Первая производная

        /    1      10 - x \
(x + 2)*|- ----- - --------|
        |  x + 2          2|
        \          (x + 2) /
----------------------------
           10 - x           

$$\frac{1}{- x + 10} \left(x + 2\right) \left(- \frac{- x + 10}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x + 2}\right)$$

Вторая производная

/     -10 + x\ /   1        1  \
|-1 + -------|*|------- + -----|
\      2 + x / \-10 + x   2 + x/
--------------------------------
            -10 + x             

$$\frac{1}{x - 10} \left(\frac{x - 10}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 10}\right)$$

Третья производная

  /     -10 + x\ /      1           1               1        \
2*|-1 + -------|*|- ---------- - -------- - -----------------|
  \      2 + x / |           2          2   (-10 + x)*(2 + x)|
                 \  (-10 + x)    (2 + x)                     /
--------------------------------------------------------------
                           -10 + x                            

$$\frac{2}{x - 10} \left(\frac{x - 10}{x + 2} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 10\right) \left(x + 2\right)} - \frac{1}{\left(x - 10\right)^{2}}\right)$$