Производная log((e-x)/(e+x))

Вы ввели

   /E - x\
log|-----|
   \E + x/

$$\log{\left (\frac{- x + e}{x + e} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{- x + e}{x + e}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{- x + e}{x + e}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = - x + e$ и $g{\left (x \right )} = x + e$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + e$ почленно:

         1. Производная постоянной $e$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + e$ почленно:

         1. Производная постоянной $e$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{2 e}{\left(x + e\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 e}{\left(- x + e\right) \left(x + e\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 e}{\left(x - e\right) \left(x + e\right)}$

---

Ответ:

$\frac{2 e}{\left(x - e\right) \left(x + e\right)}$

Первая производная

        /    1      E - x  \
(E + x)*|- ----- - --------|
        |  E + x          2|
        \          (E + x) /
----------------------------
           E - x            

$$\frac{1}{- x + e} \left(x + e\right) \left(- \frac{- x + e}{\left(x + e\right)^{2}} - \frac{1}{x + e}\right)$$

Вторая производная

/     x - E\ /  1       1  \
|-1 + -----|*|----- + -----|
\     E + x/ \E + x   x - E/
----------------------------
           x - E            

$$\frac{1}{x - e} \left(\frac{x - e}{x + e} - 1\right) \left(\frac{1}{x + e} + \frac{1}{x - e}\right)$$

Третья производная

  /     x - E\ /     1          1              1       \
2*|-1 + -----|*|- -------- - -------- - ---------------|
  \     E + x/ |         2          2   (E + x)*(x - E)|
               \  (E + x)    (x - E)                   /
--------------------------------------------------------
                         x - E                          

$$\frac{2}{x - e} \left(\frac{x - e}{x + e} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + e\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - e\right) \left(x + e\right)} - \frac{1}{\left(x - e\right)^{2}}\right)$$