Производная log(cos(3*x)-x)

Вы ввели

log(cos(3*x) - x)

$$\log{\left (- x + \cos{\left (3 x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - x + \cos{\left (3 x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + \cos{\left (3 x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $- x + \cos{\left (3 x \right )}$ почленно:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $- 3 \sin{\left (3 x \right )}$

      4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $- 3 \sin{\left (3 x \right )} - 1$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{- 3 \sin{\left (3 x \right )} - 1}{- x + \cos{\left (3 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 \sin{\left (3 x \right )} + 1}{x - \cos{\left (3 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{3 \sin{\left (3 x \right )} + 1}{x - \cos{\left (3 x \right )}}$

Первая производная

-1 - 3*sin(3*x)
---------------
  cos(3*x) - x 

$$\frac{- 3 \sin{\left (3 x \right )} - 1}{- x + \cos{\left (3 x \right )}}$$

Вторая производная

                             2
             (1 + 3*sin(3*x)) 
9*cos(3*x) - -----------------
                x - cos(3*x)  
------------------------------
         x - cos(3*x)         

$$\frac{1}{x - \cos{\left (3 x \right )}} \left(9 \cos{\left (3 x \right )} - \frac{\left(3 \sin{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2}}{x - \cos{\left (3 x \right )}}\right)$$

Третья производная

                                 3                               
               2*(1 + 3*sin(3*x))    27*(1 + 3*sin(3*x))*cos(3*x)
-27*sin(3*x) + ------------------- - ----------------------------
                               2             x - cos(3*x)        
                 (x - cos(3*x))                                  
-----------------------------------------------------------------
                           x - cos(3*x)                          

$$\frac{1}{x - \cos{\left (3 x \right )}} \left(- 27 \sin{\left (3 x \right )} - \frac{27 \left(3 \sin{\left (3 x \right )} + 1\right) \cos{\left (3 x \right )}}{x - \cos{\left (3 x \right )}} + \frac{2 \left(3 \sin{\left (3 x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(x - \cos{\left (3 x \right )}\right)^{2}}\right)$$