Производная log(cos(x/3))

Вы ввели

   /   /x\\
log|cos|-||
   \   \3//

$$\log{\left (\cos{\left (\frac{x}{3} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}}{3 \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{3} \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$

Первая производная

    /x\ 
-sin|-| 
    \3/ 
--------
     /x\
3*cos|-|
     \3/

$$- \frac{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}}{3 \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}}$$

Вторая производная

 /       2/x\\ 
 |    sin |-|| 
 |        \3/| 
-|1 + -------| 
 |       2/x\| 
 |    cos |-|| 
 \        \3// 
---------------
       9       

$$- \frac{1}{9} \left(\frac{\sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}} + 1\right)$$

Третья производная

   /       2/x\\       
   |    sin |-||       
   |        \3/|    /x\
-2*|1 + -------|*sin|-|
   |       2/x\|    \3/
   |    cos |-||       
   \        \3//       
-----------------------
             /x\       
       27*cos|-|       
             \3/       

$$- \frac{2 \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}}{27 \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}} + 1\right)$$