Производная log(cos((x-1)/x))

Вы ввели

   /   /x - 1\\
log|cos|-----||
   \   \  x  //

$$\log{\left (\cos{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(x - 1\right)$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = x - 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}{x^{2} \cos{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (1 - \frac{1}{x} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (1 - \frac{1}{x} \right )}$

Первая производная

 /1   x - 1\    /x - 1\ 
-|- - -----|*sin|-----| 
 |x      2 |    \  x  / 
 \      x  /            
------------------------
          /x - 1\       
       cos|-----|       
          \  x  /       

$$- \frac{\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)\right) \sin{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}{\cos{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}$$

Вторая производная

             /                   /-1 + x\      2/-1 + x\ /    -1 + x\\
             |              2*sin|------|   sin |------|*|1 - ------||
/    -1 + x\ |     -1 + x        \  x   /       \  x   / \      x   /|
|1 - ------|*|-1 + ------ + ------------- - -------------------------|
\      x   / |       x          /-1 + x\              2/-1 + x\      |
             |               cos|------|           cos |------|      |
             \                  \  x   /               \  x   /      /
----------------------------------------------------------------------
                                   2                                  
                                  x                                   

$$\frac{1}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(- \frac{\left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}} + \frac{2 \sin{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}{\cos{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}} - 1 + \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)$$

Третья производная

               /                                             2                           2                                           \
               |                      /-1 + x\   /    -1 + x\     /-1 + x\   /    -1 + x\     3/-1 + x\        2/-1 + x\ /    -1 + x\|
               |                 3*sin|------|   |1 - ------| *sin|------|   |1 - ------| *sin |------|   3*sin |------|*|1 - ------||
  /    -1 + x\ |    3*(-1 + x)        \  x   /   \      x   /     \  x   /   \      x   /      \  x   /         \  x   / \      x   /|
2*|1 - ------|*|3 - ---------- - ------------- - ------------------------- - -------------------------- + ---------------------------|
  \      x   / |        x            /-1 + x\              /-1 + x\                    3/-1 + x\                     2/-1 + x\       |
               |                  cos|------|           cos|------|                 cos |------|                  cos |------|       |
               \                     \  x   /              \  x   /                     \  x   /                      \  x   /       /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                   3                                                                  
                                                                  x                                                                   

$$\frac{2}{x^{3}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(- \frac{\left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} \sin^{3}{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}{\cos^{3}{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}} - \frac{\left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)^{2} \sin{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}{\cos{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}} + \frac{3 \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}} - \frac{3 \sin{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}}{\cos{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}} + 3 - \frac{1}{x} \left(3 x - 3\right)\right)$$