Производная log(cos(x))^3

Вы ввели

   3        
log (cos(x))

$$\log^{3}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- 3 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- 3 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}$

Первая производная

      2               
-3*log (cos(x))*sin(x)
----------------------
        cos(x)        

$$- \frac{3 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /                    2         2               \            
  |               2*sin (x)   sin (x)*log(cos(x))|            
3*|-log(cos(x)) + --------- - -------------------|*log(cos(x))
  |                   2                2         |            
  \                cos (x)          cos (x)      /            

$$3 \left(- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

  /                                    2         2            2           2               \       
  |     2                           sin (x)   log (cos(x))*sin (x)   3*sin (x)*log(cos(x))|       
6*|- log (cos(x)) + 3*log(cos(x)) - ------- - -------------------- + ---------------------|*sin(x)
  |                                    2               2                       2          |       
  \                                 cos (x)         cos (x)                 cos (x)       /       
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                              cos(x)                                              

$$\frac{6 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(- \frac{\log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \sin^{2}{\left (x \right )} - \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 3 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$$