Производная log(cot(cbrt(x)))

Вы ввели

   /   /3 ___\\
log\cot\\/ x //

$$\log{\left (\cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \sqrt[3]{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{x}$ получим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \sin^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} \tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}} \sin{\left (2 \sqrt[3]{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}} \sin{\left (2 \sqrt[3]{x} \right )}}$

Первая производная

         2/3 ___\
 -1 - cot \\/ x /
-----------------
   2/3    /3 ___\
3*x   *cot\\/ x /

$$\frac{- \cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} - 1}{3 x^{\frac{2}{3}} \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$$

Вторая производная

                  /           2/3 ___\                   \
/       2/3 ___\\ |    1 + cot \\/ x /          2        |
\1 + cot \\/ x //*|2 - --------------- + ----------------|
                  |         2/3 ___\     3 ___    /3 ___\|
                  \      cot \\/ x /     \/ x *cot\\/ x //
----------------------------------------------------------
                             4/3                          
                          9*x                             

$$\frac{1}{9 x^{\frac{4}{3}}} \left(\cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \left(- \frac{\cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1}{\cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} + 2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x} \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}\right)$$

Третья производная

                    /                                                           2                                            \
                    |                                /3 ___\   /       2/3 ___\\      /       2/3 ___\\     /       2/3 ___\\|
  /       2/3 ___\\ |   6            5          2*cot\\/ x /   \1 + cot \\/ x //    2*\1 + cot \\/ x //   3*\1 + cot \\/ x //|
2*\1 + cot \\/ x //*|- ---- - --------------- - ------------ - ------------------ + ------------------- + -------------------|
                    |   7/3    8/3    /3 ___\         2           2    3/3 ___\         2    /3 ___\         7/3    2/3 ___\ |
                    \  x      x   *cot\\/ x /        x           x *cot \\/ x /        x *cot\\/ x /        x   *cot \\/ x / /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              27                                                              

$$\frac{2}{27} \left(\cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right)^{2}}{x^{2} \cot^{3}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} + \frac{2 \cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 2}{x^{2} \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} - \frac{2}{x^{2}} \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{3 \cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 3}{x^{\frac{7}{3}} \cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} - \frac{6}{x^{\frac{7}{3}}} - \frac{5}{x^{\frac{8}{3}} \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}\right)$$