Производная log(cot(x/2))

Вы ввели

   /   /x\\
log|cot|-||
   \   \2//

$$\log{\left (\cot{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

Первая производная

         2/x\
      cot |-|
  1       \2/
- - - -------
  2      2   
-------------
       /x\   
    cot|-|   
       \2/   

$$\frac{- \frac{1}{2} \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{2}}{\cot{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$

Вторая производная

                             2
                /       2/x\\ 
                |1 + cot |-|| 
         2/x\   \        \2// 
2 + 2*cot |-| - --------------
          \2/         2/x\    
                   cot |-|    
                       \2/    
------------------------------
              4               

$$\frac{1}{4} \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} + 2 \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2\right)$$

Третья производная

              /                          2                  \
              |             /       2/x\\      /       2/x\\|
              |             |1 + cot |-||    2*|1 + cot |-|||
/       2/x\\ |       /x\   \        \2//      \        \2//|
|1 + cot |-||*|- 2*cot|-| - -------------- + ---------------|
\        \2// |       \2/         3/x\               /x\    |
              |                cot |-|            cot|-|    |
              \                    \2/               \2/    /
-------------------------------------------------------------
                              4                              

$$\frac{1}{4} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}} + \frac{2 \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2}{\cot{\left (\frac{x}{2} \right )}} - 2 \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$$