Производная log(cot(x/5))

Вы ввели

   /   /x\\
log|cot|-||
   \   \5//

$$\log{\left (\cot{\left (\frac{x}{5} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (\frac{x}{5} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (\frac{x}{5} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{5}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{5}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{5}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{5 \sin^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\frac{1}{5} \sin^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} + \frac{1}{5} \cos^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} \cot{\left (\frac{x}{5} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{5 \sin{\left (\frac{2 x}{5} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{5 \sin{\left (\frac{2 x}{5} \right )}}$

Первая производная

         2/x\
      cot |-|
  1       \5/
- - - -------
  5      5   
-------------
       /x\   
    cot|-|   
       \5/   

$$\frac{- \frac{1}{5} \cot^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} - \frac{1}{5}}{\cot{\left (\frac{x}{5} \right )}}$$

Вторая производная

                             2
                /       2/x\\ 
                |1 + cot |-|| 
         2/x\   \        \5// 
2 + 2*cot |-| - --------------
          \5/         2/x\    
                   cot |-|    
                       \5/    
------------------------------
              25              

$$\frac{1}{25} \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )}} + 2 \cot^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} + 2\right)$$

Третья производная

                /                          2                  \
                |             /       2/x\\      /       2/x\\|
                |             |1 + cot |-||    2*|1 + cot |-|||
  /       2/x\\ |       /x\   \        \5//      \        \5//|
2*|1 + cot |-||*|- 2*cot|-| - -------------- + ---------------|
  \        \5// |       \5/         3/x\               /x\    |
                |                cot |-|            cot|-|    |
                \                    \5/               \5/    /
---------------------------------------------------------------
                              125                              

$$\frac{2}{125} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} + 1\right) \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (\frac{x}{5} \right )}} + \frac{2 \cot^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} + 2}{\cot{\left (\frac{x}{5} \right )}} - 2 \cot{\left (\frac{x}{5} \right )}\right)$$