Производная log(cot(x/3))

Вы ввели

   /   /x\\
log|cot|-||
   \   \3//

$$\log{\left(\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}$$

d /   /   /x\\\
--|log|cot|-|||
dx\   \   \3///

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

            2. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

               В результате последовательности правил:

               $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

               В результате последовательности правил:

               $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}$

Первая производная

         2/x\
      cot |-|
  1       \3/
- - - -------
  3      3   
-------------
       /x\   
    cot|-|   
       \3/   

$$\frac{- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} - \frac{1}{3}}{\cot{\left(\frac{x}{3} \right)}}$$

Вторая производная

                             2
                /       2/x\\ 
                |1 + cot |-|| 
         2/x\   \        \3// 
2 + 2*cot |-| - --------------
          \3/         2/x\    
                   cot |-|    
                       \3/    
------------------------------
              9               

$$\frac{- \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 2}{9}$$

Третья производная

                /                          2                  \
                |             /       2/x\\      /       2/x\\|
                |             |1 + cot |-||    2*|1 + cot |-|||
  /       2/x\\ |       /x\   \        \3//      \        \3//|
2*|1 + cot |-||*|- 2*cot|-| - -------------- + ---------------|
  \        \3// |       \3/         3/x\               /x\    |
                |                cot |-|            cot|-|    |
                \                    \3/               \3/    /
---------------------------------------------------------------
                               27                              

$$\frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right)}{\cot{\left(\frac{x}{3} \right)}} - 2 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)}{27}$$

График