Производная log(cot(x))^(3)

Вы ввели

   3        
log (cot(x))

$$\log^{3}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log^{2}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{6 \log^{2}{\left (\frac{1}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{6 \log^{2}{\left (\frac{1}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

     2         /        2   \
3*log (cot(x))*\-1 - cot (x)/
-----------------------------
            cot(x)           

$$\frac{3 \log^{2}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}}{\cot{\left (x \right )}} \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right)$$

Вторая производная

                /                  /       2   \   /       2   \            \            
  /       2   \ |                2*\1 + cot (x)/   \1 + cot (x)/*log(cot(x))|            
3*\1 + cot (x)/*|2*log(cot(x)) + --------------- - -------------------------|*log(cot(x))
                |                       2                      2            |            
                \                    cot (x)                cot (x)         /            

$$3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{\log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{2 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + 2 \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}\right) \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

                /               2                                        2                                                                                            2            \
                |  /       2   \                            /       2   \     2             /       2   \                    2         /       2   \     /       2   \             |
  /       2   \ |  \1 + cot (x)/         2                  \1 + cot (x)/ *log (cot(x))   6*\1 + cot (x)/*log(cot(x))   2*log (cot(x))*\1 + cot (x)/   3*\1 + cot (x)/ *log(cot(x))|
6*\1 + cot (x)/*|- -------------- - 2*log (cot(x))*cot(x) - --------------------------- - --------------------------- + ---------------------------- + ----------------------------|
                |        3                                               3                           cot(x)                        cot(x)                           3              |
                \     cot (x)                                         cot (x)                                                                                    cot (x)           /

$$6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (x \right )}} \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} - \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (x \right )}} + \frac{2 \log^{2}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}}{\cot{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{6 \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}}{\cot{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - 2 \log^{2}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} \cot{\left (x \right )}\right)$$