Производная log(sqrt(cos(x)))

Вы ввели

   /  ________\
log\\/ cos(x) /

$$\log{\left (\sqrt{\cos{\left (x \right )}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{\cos{\left (x \right )}}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{\cos{\left (x \right )}}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\cos{\left (x \right )}}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \cos{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{2} \tan{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \tan{\left (x \right )}$

Первая производная

-sin(x) 
--------
2*cos(x)

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /       2   \ 
 |    sin (x)| 
-|1 + -------| 
 |       2   | 
 \    cos (x)/ 
---------------
       2       

$$- \frac{1}{2} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1\right)$$

Третья производная

 /       2   \        
 |    sin (x)|        
-|1 + -------|*sin(x) 
 |       2   |        
 \    cos (x)/        
----------------------
        cos(x)        

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1\right)$$