Производная log(sqrt(sin(x)))

Вы ввели

   /  ________\
log\\/ sin(x) /

$$\log{\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$

d /   /  ________\\
--\log\\/ sin(x) //
dx                 

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{\sin{\left(x \right)}}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{\sin{\left(x \right)}}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \tan{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \tan{\left(x \right)}}$

Первая производная

 cos(x) 
--------
2*sin(x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

 /       2   \ 
 |    cos (x)| 
-|1 + -------| 
 |       2   | 
 \    sin (x)/ 
---------------
       2       

$$- \frac{1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{2}$$

Третья производная

/       2   \       
|    cos (x)|       
|1 + -------|*cos(x)
|       2   |       
\    sin (x)/       
--------------------
       sin(x)       

$$\frac{\left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

График