Производная log(log(1+1/x))

Вы ввели

   /   /    1\\
log|log|1 + -||
   \   \    x//

$$\log{\left (\log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}$:

   1. Заменим $u = 1 + \frac{1}{x}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(1 + \frac{1}{x}\right)$:

      1. дифференцируем $1 + \frac{1}{x}$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате: $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x \left(x + 1\right) \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x \left(x + 1\right) \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}$

Первая производная

         -1          
---------------------
 2 /    1\    /    1\
x *|1 + -|*log|1 + -|
   \    x/    \    x/

$$- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}$$

Вторая производная

        1                1          
2 - --------- - --------------------
      /    1\     /    1\    /    1\
    x*|1 + -|   x*|1 + -|*log|1 + -|
      \    x/     \    x/    \    x/
------------------------------------
        3 /    1\    /    1\        
       x *|1 + -|*log|1 + -|        
          \    x/    \    x/        

$$\frac{2 - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}$$

Третья производная

          2            6                 3                         2                       6          
-6 - ----------- + --------- - ---------------------- - ----------------------- + --------------------
               2     /    1\             2                        2                 /    1\    /    1\
      2 /    1\    x*|1 + -|    2 /    1\     /    1\    2 /    1\     2/    1\   x*|1 + -|*log|1 + -|
     x *|1 + -|      \    x/   x *|1 + -| *log|1 + -|   x *|1 + -| *log |1 + -|     \    x/    \    x/
        \    x/                   \    x/     \    x/      \    x/      \    x/                       
------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                         4 /    1\    /    1\                                         
                                        x *|1 + -|*log|1 + -|                                         
                                           \    x/    \    x/                                         

$$\frac{1}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}} \left(-6 + \frac{6}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{6}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}} - \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}} - \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} \log^{2}{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}\right)$$