Производная log(1/cos(x))

Вы ввели

   /  1   \
log|------|
   \cos(x)/

$$\log{\left (\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\tan{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\tan{\left (x \right )}$

Первая производная

sin(x)
------
cos(x)

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

       2   
    sin (x)
1 + -------
       2   
    cos (x)

$$\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1$$

Третья производная

  /       2   \       
  |    sin (x)|       
2*|1 + -------|*sin(x)
  |       2   |       
  \    cos (x)/       
----------------------
        cos(x)        

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1\right)$$

График