Производная log(1/sin(x))

Вы ввели

   /    1   \
log|1*------|
   \  sin(x)/

$$\log{\left(1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$

d /   /    1   \\
--|log|1*------||
dx\   \  sin(x)//

$$\frac{d}{d x} \log{\left(1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

Первая производная

-cos(x) 
--------
 sin(x) 

$$- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

       2   
    cos (x)
1 + -------
       2   
    sin (x)

$$1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Третья производная

   /       2   \       
   |    cos (x)|       
-2*|1 + -------|*cos(x)
   |       2   |       
   \    sin (x)/       
-----------------------
         sin(x)        

$$- \frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

График