Производная log(1/x)/x

Вы ввели

   /1\
log|-|
   \x/
------
  x   

$$\frac{1}{x} \log{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{1}{x} \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right)$

Первая производная

          /1\
       log|-|
  1       \x/
- -- - ------
   2      2  
  x      x   

$$- \frac{1}{x^{2}} \log{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{2}}$$

Вторая производная

         /1\
3 + 2*log|-|
         \x/
------------
      3     
     x      

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 \log{\left (\frac{1}{x} \right )} + 3\right)$$

Третья производная

 /          /1\\ 
-|11 + 6*log|-|| 
 \          \x// 
-----------------
         4       
        x        

$$- \frac{1}{x^{4}} \left(6 \log{\left (\frac{1}{x} \right )} + 11\right)$$