Производная log(1-cos(x))^(2)

Вы ввели

   2            
log (1 - cos(x))

$$\log^{2}{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$:

   1. Заменим $u = - \cos{\left (x \right )} + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

            Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

         В результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin{\left (x \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 1}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 1} \sin{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

2*log(1 - cos(x))*sin(x)
------------------------
       1 - cos(x)       

$$\frac{2 \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{- \cos{\left (x \right )} + 1} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /     2                                    2                   \
  |  sin (x)                              sin (x)*log(1 - cos(x))|
2*|----------- - cos(x)*log(1 - cos(x)) - -----------------------|
  \-1 + cos(x)                                  -1 + cos(x)      /
------------------------------------------------------------------
                           -1 + cos(x)                            

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1} \left(- 2 \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1}\right)$$

Третья производная

  /                     2                                         2                                     \       
  |  3*cos(x)      3*sin (x)      3*cos(x)*log(1 - cos(x))   2*sin (x)*log(1 - cos(x))                  |       
2*|----------- + -------------- - ------------------------ - ------------------------- + log(1 - cos(x))|*sin(x)
  |-1 + cos(x)                2         -1 + cos(x)                             2                       |       
  \              (-1 + cos(x))                                     (-1 + cos(x))                        /       
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  -1 + cos(x)                                                   

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} \left(\log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )} - \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \log{\left (- \cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$