Производная log(1-cos(x)^(3))

Вы ввели

   /       3   \
log\1 - cos (x)/

$$\log{\left (- \cos^{3}{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \cos^{3}{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \cos^{3}{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- \cos^{3}{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

         2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

            В результате последовательности правил:

            $- 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}$

      В результате: $3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{- \cos^{3}{\left (x \right )} + 1}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )} - 1}$

Первая производная

     2          
3*cos (x)*sin(x)
----------------
         3      
  1 - cos (x)   

$$\frac{3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{- \cos^{3}{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

  /                             3       2   \       
  |     2           2      3*cos (x)*sin (x)|       
3*|- cos (x) + 2*sin (x) - -----------------|*cos(x)
  |                                   3     |       
  \                           -1 + cos (x)  /       
----------------------------------------------------
                            3                       
                    -1 + cos (x)                    

$$\frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )} - 1} \left(2 \sin^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )} - 1}\right)$$

Третья производная

  /                                5              6       2            3       2   \       
  |       2           2       9*cos (x)     18*cos (x)*sin (x)   18*cos (x)*sin (x)|       
3*|- 2*sin (x) + 7*cos (x) - ------------ - ------------------ + ------------------|*sin(x)
  |                                  3                     2                3      |       
  |                          -1 + cos (x)    /        3   \         -1 + cos (x)   |       
  \                                          \-1 + cos (x)/                        /       
-------------------------------------------------------------------------------------------
                                                3                                          
                                        -1 + cos (x)                                       

$$\frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )} - 1} \left(- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 7 \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{18 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )} - 1} - \frac{9 \cos^{5}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )} - 1} - \frac{18 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}}{\left(\cos^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$