Производная log(1-x/(1+x))

Вы ввели

   /      x  \
log|1 - -----|
   \    1 + x/

$$\log{\left(1 - \frac{x}{x + 1} \right)}$$

d /   /      x  \\
--|log|1 - -----||
dx\   \    1 + x//

$$\frac{d}{d x} \log{\left(1 - \frac{x}{x + 1} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 - \frac{x}{x + 1}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - \frac{x}{x + 1}\right)$:

   1. дифференцируем $1 - \frac{x}{x + 1}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               В результате: $1$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

      В результате: $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{\left(1 - \frac{x}{x + 1}\right) \left(x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{- x - 1}$

---

Ответ:

$\frac{1}{- x - 1}$

Первая производная

    1        x    
- ----- + --------
  1 + x          2
          (1 + x) 
------------------
          x       
    1 - -----     
        1 + x     

$$\frac{\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}}{1 - \frac{x}{x + 1}}$$

Вторая производная

   1    
--------
       2
(1 + x) 

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  -2    
--------
       3
(1 + x) 

$$- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}}$$

График