Производная log(1+a/x)

Вы ввели

   /    a\
log|1 + -|
   \    x/

$$\log{\left (\frac{a}{x} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{a}{x} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{a}{x} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\frac{a}{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{a}{x^{2}}$

      В результате: $- \frac{a}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{a}{x^{2} \left(\frac{a}{x} + 1\right)}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{a}{x \left(a + x\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{a}{x \left(a + x\right)}$

Первая производная

   -a     
----------
 2 /    a\
x *|1 + -|
   \    x/

$$- \frac{a}{x^{2} \left(\frac{a}{x} + 1\right)}$$

Вторая производная

  /        a    \
a*|2 - ---------|
  |      /    a\|
  |    x*|1 + -||
  \      \    x//
-----------------
     3 /    a\   
    x *|1 + -|   
       \    x/   

$$\frac{a \left(- \frac{a}{x \left(\frac{a}{x} + 1\right)} + 2\right)}{x^{3} \left(\frac{a}{x} + 1\right)}$$

Третья производная

    /           2                \
    |          a           3*a   |
2*a*|-3 - ----------- + ---------|
    |               2     /    a\|
    |      2 /    a\    x*|1 + -||
    |     x *|1 + -|      \    x/|
    \        \    x/             /
----------------------------------
             4 /    a\            
            x *|1 + -|            
               \    x/            

$$\frac{2 a}{x^{4} \left(\frac{a}{x} + 1\right)} \left(- \frac{a^{2}}{x^{2} \left(\frac{a}{x} + 1\right)^{2}} + \frac{3 a}{x \left(\frac{a}{x} + 1\right)} - 3\right)$$