Производная log(1+2*cos(x))

Вы ввели

log(1 + 2*cos(x))

$$\log{\left (2 \cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 2 \cos{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 \cos{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $2 \cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- 2 \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- 2 \sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{2 \cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{2 \cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

 -2*sin(x)  
------------
1 + 2*cos(x)

$$- \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{2 \cos{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

   /      2              \
   | 2*sin (x)           |
-2*|------------ + cos(x)|
   \1 + 2*cos(x)         /
--------------------------
       1 + 2*cos(x)       

$$- \frac{1}{2 \cos{\left (x \right )} + 1} \left(2 \cos{\left (x \right )} + \frac{4 \sin^{2}{\left (x \right )}}{2 \cos{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

  /            2                     \       
  |       8*sin (x)        6*cos(x)  |       
2*|1 - --------------- - ------------|*sin(x)
  |                  2   1 + 2*cos(x)|       
  \    (1 + 2*cos(x))                /       
---------------------------------------------
                 1 + 2*cos(x)                

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{2 \cos{\left (x \right )} + 1} \left(1 - \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{2 \cos{\left (x \right )} + 1} - \frac{8 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(2 \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$