Производная log(1+cos(x))

Вы ввели

log(1 + cos(x))

$$\log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

 -sin(x)  
----------
1 + cos(x)

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

 /    2              \ 
 | sin (x)           | 
-|---------- + cos(x)| 
 \1 + cos(x)         / 
-----------------------
       1 + cos(x)      

$$- \frac{1}{\cos{\left (x \right )} + 1} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

/                        2     \       
|     3*cos(x)      2*sin (x)  |       
|1 - ---------- - -------------|*sin(x)
|    1 + cos(x)               2|       
\                 (1 + cos(x)) /       
---------------------------------------
               1 + cos(x)              

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \left(1 - \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$