Производная log(1+cos(x))^(2)

Вы ввели

   2            
log (1 + cos(x))

$$\log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )} + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

-2*log(1 + cos(x))*sin(x)
-------------------------
        1 + cos(x)       

$$- \frac{2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /    2                                    2                   \
  | sin (x)                              sin (x)*log(1 + cos(x))|
2*|---------- - cos(x)*log(1 + cos(x)) - -----------------------|
  \1 + cos(x)                                   1 + cos(x)      /
-----------------------------------------------------------------
                            1 + cos(x)                           

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} + 1} \left(- 2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

  /                    2                                        2                                     \       
  | 3*cos(x)      3*sin (x)     3*cos(x)*log(1 + cos(x))   2*sin (x)*log(1 + cos(x))                  |       
2*|---------- + ------------- - ------------------------ - ------------------------- + log(1 + cos(x))|*sin(x)
  |1 + cos(x)               2          1 + cos(x)                            2                        |       
  \             (1 + cos(x))                                     (1 + cos(x))                         /       
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  1 + cos(x)                                                  

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \left(\log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} - \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$