Производная (log(1+cos(x)))^3

Вы ввели

   3            
log (1 + cos(x))

$$\log^{3}{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )} + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{3 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

      2                   
-3*log (1 + cos(x))*sin(x)
--------------------------
        1 + cos(x)        

$$- \frac{3 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /                               2          2                   \                
  |                          2*sin (x)    sin (x)*log(1 + cos(x))|                
3*|-cos(x)*log(1 + cos(x)) + ---------- - -----------------------|*log(1 + cos(x))
  \                          1 + cos(x)          1 + cos(x)      /                
----------------------------------------------------------------------------------
                                    1 + cos(x)                                    

$$\frac{3 \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \left(- \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

  /                          2             2                           2                2                                      2                   \       
  |   2                 2*sin (x)     3*log (1 + cos(x))*cos(x)   2*log (1 + cos(x))*sin (x)   6*cos(x)*log(1 + cos(x))   6*sin (x)*log(1 + cos(x))|       
3*|log (1 + cos(x)) - ------------- - ------------------------- - -------------------------- + ------------------------ + -------------------------|*sin(x)
  |                               2           1 + cos(x)                            2                 1 + cos(x)                            2      |       
  \                   (1 + cos(x))                                      (1 + cos(x))                                            (1 + cos(x))       /       
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                         1 + cos(x)                                                                        

$$\frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \left(\log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} - \frac{3 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \cos{\left (x \right )} + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} - \frac{2 \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \sin^{2}{\left (x \right )} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$