Производная log(1+cot(x))

Вы ввели

log(1 + cot(x))

$$\log{\left (\cot{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\cot{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right) \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cos{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )} - \sqrt{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cos{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )} - \sqrt{2}}$

Первая производная

        2   
-1 - cot (x)
------------
 1 + cot(x) 

$$\frac{- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1}{\cot{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

              /                  2   \
/       2   \ |           1 + cot (x)|
\1 + cot (x)/*|2*cot(x) - -----------|
              \            1 + cot(x)/
--------------------------------------
              1 + cot(x)              

$$\frac{1}{\cot{\left (x \right )} + 1} \left(2 \cot{\left (x \right )} - \frac{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}{\cot{\left (x \right )} + 1}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /                              2                         \
                |                 /       2   \      /       2   \       |
  /       2   \ |          2      \1 + cot (x)/    3*\1 + cot (x)/*cot(x)|
2*\1 + cot (x)/*|-1 - 3*cot (x) - -------------- + ----------------------|
                |                             2          1 + cot(x)      |
                \                 (1 + cot(x))                           /
--------------------------------------------------------------------------
                                1 + cot(x)                                

$$\frac{2}{\cot{\left (x \right )} + 1} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- 3 \cot^{2}{\left (x \right )} - 1 + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}}{\cot{\left (x \right )} + 1} - \frac{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\cot{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$